اسئلة درس : الاحتمال العملى

س١: أراد مجلس الطلاب في جامعة اتخاذ قرار اختيار بلد من بين ثلاثة بُلدان مُحتمَلة من أجل الرحلة السنوية للطلاب الجُدد. يوضِّح الجدول نتائج استبيان شارك فيه ٥٠ طالبًا. إذا كان عدد الطلاب الجُدد في الجامعة ٤٩٥، فتوقَّع عدد الطلاب الذين يُفضِّلون الذهاب إلى روما .

س٢: فُحِصَت عيِّنة من ١‎ ‎٠٠٠ مصباح كهربائي من إنتاج مصنع مصابيح كهربائية. باستخدام الجدول الذي يوضِّح نتائج هذه العينة، احسب الاحتمال التجريبي لأنْ يتلفَ مصباح كهربائي بعد أقل من ١٥٠ ساعة من الاستخدام.

س٣: مع رامي أربع بطاقات زرقاء وبطاقتان خضراوان. خلط البطاقات ووضع وجهها لأسفل في صفٍّ ثم قلبها. ما احتمال وجود بطاقتين خضراوين متجاورتين؟

س٤: قُذفت عملتان ٧٦ مرة. لُوحظ وجها العملتين، وسُجِّلت النتائج في هذا الجدول. أوجد احتمال ظهور كتابتين في صورة كسرية لأبسط صورة.

س٥: ألقت أستاذة جامعية مجموعة محاضرات عن كيفية استخدام المخرطة لعمل زوايا لمجموعة متنوِّعة من مكوِّنات الألومنيوم. جميع طلابها الذين بلغ عددهم ٣٠ حضروا هذه المحاضرات كلها. بعد ذلك ألقت الأستاذة الجامعية محاضرة مراجعة مدتها ساعتان، حضرها ٢٠ طالبًا؛ لتساعد الطلاب في الاستعداد لاختبار قادم في المادة. من بين ١٧ طالبًا اجتازوا الاختبار، لم يحضر ٥ طلاب فقط محاضرة المراجعة. هل اجتياز الاختبار كان مستقلًّا عن حضور محاضرة المراجعة؟

س٦: ألقيت عملة ٢٠٠ مرة ولوحظ أن عدد ظهور وجه الكتابة يساوي ١٠٢. احسب التكرار النسبي للحصول على وجه الصورة. قرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

س٧: نرد له ستة أوجه عليهاالأعداد من ١ إلى ٦. رُمي النرد ٢٦ مرة وسُجِّل عدد مرات ظهور كل عدد في الجدول. أوجد الاحتمال العملي لرمي النرد والحصول على العدد ٤.

س٨: ألقى ولد قطعة نقود معدنية 100 مرة ،وظهرت الصورة 58 مرة .احسب احتمال ظهور الصورة في هذه اللعبة.

س٩: لدى يارا لعبة دوَّارة مقسَّمة إلى عشرة قطاعات متساوية ومرقَّمة بالأعداد من ١ إلى ١٠. أدارت اللعبة ٣٠٠ مرة، ثم سجَّلت النتائج في الجدول التكراري.

س١٠: تحتوي حقيبة على كرات حمراء وزرقاء. طُلِب من الطلاب سحب كرة عشوائيًّا، وتسجيل لونها وإعادتها، وطُلِب من كلِّ طالب تكرار هذا الأمر ١٤ مرة. يوضِّح الجدول نتائج التجربة. من خلال حساب التكرار النسبي لسحب كرة زرقاء، احسب عدد الكرات التي يُتوقَّع سحبها إذا كرَّر أحد الطلاب التجربة 100 مرة

س١١: يُنتج مصنعٌ نوعين من أجهزة التلفاز ويرغب في تحديد كمية كل نوع. يوضِّح الجدول مبيعات عيِّنة من ٥٠ جهازًا تليفزيون من ٥ مراكز تسوق. إذا كان المصنع سينتج ٦‎ ‎٠٠٠ جهاز تليفزيون إجماليًّا، فكم جهازًا سيكون من النوع ب ؟

س١٢: عندما يفوز أحد الأشخاص بجائزة في برنامج مسابقات، يُدير القائمون على البرنامج القرص الدوَّار لتحديد مقدار المال الذي سيفوز به ذلك الشخص. أدار القائمون على برنامج المسابقات القرص الدوَّار ٣٠٠ مرة، وسجَّلوا المبالغ التي استقرَّ عندها مؤشِّر القرص الدوَّار في الجدول الآتي:

س١٣: أُلقي حجر نرد منتظم مرتين. أيٌّ من التالي يُمثِّل حدث ظهور عددين مجموعهما أصغر من أو يساوي ٤؟

س١٤: أُلقي حجر نرد مُنتظِم 150 مرة .ما عدد المرات التي يُتوقَّع أن نحصل فيها على عدد قابل للقسمة على ٣؟

س١٥: يوضِّح التمثيل البياني نتائج تجربة؛ حيث رُمي حجر نرد ٢٦ مرة. أوجد الاحتمال التجريبي لظهور العدد ٢. اكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.

أوجد احتمال أن يكون ثلاثة أشخاص في المجموعة أيام ميلادهم مميزة. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

س١٧: شركة لتصنيع المصابيح الضوئية تختبر عينة من ١‎ ‎٠٠٠ مصباح لتحديد العمر الافتراضي للمُنتَج. يوضِّح الجدول التالي النتائج التي توصَّلت إليها الشركة. ما احتمال انتهاء العمر الافتراضي لمصباح ضوئي بعد مرور ٤٠٠ ساعة من الاستخدام؟

س١٨: ينتج مصنع ٢٠٠ مصباح كهربي في اليوم الواحد، منها ١٥ مصباحًا كهربيًّا تالفًا. ما احتمال أن يكون المصباح الذي سُحب عشوائيًّا تالفًا؟

س١٩: ما احتمال ظهور الصورة عند إلقاء عملة معدِنية منتظمة؟

س٢٠: تحتوي حقيبة على 12 كرة ؛ ٤ منها تحمل الرقم ١، و٤ منها تحمل الرقم ٢، والباقي يحمل الرقم ٣. إذا سُحبت كرتان عشوائيًّا الواحدة تلو الأخرى بالتبادل، فأوجد احتمال أن تحمل الكرتان عددين مجموعهما ٣ على الأقل.

س٢١: رف في متجر كتب عليه ٣٠ نسخة من كتابٍ ما، ٤ من هذه النسخ عليها توقيع الكاتب. سحب زبون واحدة من النسخ عشوائيًا، وتصفَّحها. في وقت لاحق، جاء زبون آخَر وفعل نفس الشيء. ما احتمال أن يسحب الزبونان نسخة موقَّعة من الرف إذا اشترى الزبون الأول النسخة التي تصفَّحها؟

س٢٢: تُريد سالي المقارنة بين الاحتمالات النظرية والتجريبية. قرَّرت إلقاء حجر نرد ١٢ مرة، و١٢٠ مرة، و١‎ ‎٢٠٠ مرة، ثم المقارنة بين التوزيعات الثلاثة. بعد ١٢ رمية، حصَلت على النتائج الآتية:

اختر

اوجد

س٢٥: اشترى سامح حجر نرد رباعي الأسطح توجد القيم من ١ إلى ٤ على وجهه. أراد أن يبحث إذا ما كان حجر نرد مُنتظِمًا أو لا؛ ولذلك قرَّر دحرجته ١٠٠ مرة وتسجيل جميع القيم في جدول فحصَل على النتائج الموضَّحة.

س٢٦: نادر لديه ثلاث بطاقات حمراء وأربع بطاقات سوداء. خلط هذه البطاقات بعضها ببعض ووضعها في صف على الطاولة. أوجد احتمال أن تكون بطاقتان حمراوان على الأقل متجاورتين.

س٢٧: أُلقيت ثلاث عملات معدنية. ما احتمال ظهور وجهي الصورة والكتابة نفس عدد المرات؟

س٢٨: أُلقي حجر نرد 150 مرة .ما عدد المرات التي يُتوقَّع الحصول فيها على عدد فردي أكبر من ٢؟

س٢٩: أيُّ المجموعات التالية تُمثِّل حدث ظهور رقمين مجموعهما ١٠ عند إلقاء حجرَيْ نرد لكلٍّ منهما ستة أوجه؟

س٣٠: تجربة لها ثلاثة نواتج محتملة، فإذا كان احتمال حدوث الناتج الأول ٠٫٢١، واحتمال حدوث الناتج الثاني ٠٫٦، فاحسب احتمال حدوث الناتج الثالث.

س٣١: اختيرت أربعة أرقام مختلفة من ٠ إلى ٩ عشوائيًّا لتُشكِّل الرمز الخاص بقُفل توافقي. أوجد احتمال أن يحتوي الرمز على الرقم ١.

س٣٢: حجر نرد له ستة أوجه مُرقَّم بالأعداد من ١ إلى ٦، أُلقي 42 مرة،وسُجِّل الرقم الذي يظهر على الوجه العلوي في الجدول الآتي. ما احتمال أن يظهر الرقم ٥ على الوجه العلوي؟

س٣٣: لدى آدم بطاقتان زرقاوان وثلاث بطاقات صفراء. خلط هذه البطاقات بعضها ببعض، ووضعها على وجهها في صف، ثم قلبها. ما احتمال أن تكون البطاقتان الزرقاوان متجاورتين؟

س٣٤: تحتوي حقيبة على مجموعة من الكرات، ٩ منها زرقاء، ٥ حمراء، ٣ بيضاء، ٨ خضراء. إذا سُحبت كرة واحدة عشوائيًّا ٧٥ مرة، مع الإحلال، فأوجد العدد المتوقَّع للمرات التي يمكن أن تكون الكرة المسحوبة خضراء.

س٣٥: ألقت يارا حجر نرد له ستة أوجه ١٨٠ مرة وسجَّلت النواتج في ذلك الجدول التكراري.

س٣٦: أُلقيت قطعة نقود غير منتظمة 350 مرة ،وظهرت الكتابة 178 مرة .احسب التكرار النسبي للحصول على صورة.

س٣٧: هل يُعدُّ إلقاء عملة معدِنية تجرِبةً؟

س٣٨: افترِض أنك ألقيت مكعبين، كل مكعب منهما يحمل الأرقام ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦ على أوجهه. أوجد احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين أقلَّ من ١٢.

س٣٩: هل إلقاء حجر نرد منتظم يُعبِّر عن تجرِبة؟

س٤٠: إذا ربح شخص في لُعبة تليفزيونية، يُدار قرص دوَّار لتحديد مبلغ المال الذي سيحصل عليه. اختبر صانعو اللُّعبة القرص الدوَّار ٣٠٠ مرة، وسجَّلوا المبلغ المالي الذي يستقر عليه المؤشِّر في الجدول.

س٤١: احتمال الحصول على صورة عند رمي عملة معدنية متحيِّزة أكبر بمقدار اثنَيْ عشر مثلًا من احتمال الحصول على كتابة. احسب احتمال الحصول على كتابة.

س٤٢: مجموعة مُكوَّنة من ستة أشخاص، ثلاثة أشخاص يرتدون قبعات وثلاثة لا يرتدون قبعات. إذا كانوا كلهم يقفون في صفٍّ واحد بترتيب عشوائي، ما احتمال أن يكون شخصان على الأقل يرتديان قبعة يقفان متجاورين؟

س٤٣: في عينة من 64 شخصا ،وُجد أن ٣٦ منهم يشاهدون القناة أ، بينما يشاهد ٢٩ منهم القناة ب، ويشاهد١١ كلتا القناتين. ما احتمال أن يشاهد أحد الأشخاص من العينة عشوائيًّا القناة أ فقط؟

س٤٤: استخدمت شركة تأمين على الحياة عينة من ٤‎ ‎٠٠٠ رجل تتراوح أعمارهم بين ٥٠ و٦٠ سنة لإيجاد احتمال موت أحدهم وعمره يتراوح بين هذه الأعمار. إذا كان ١٧ رجلًا ممَّن اشتركوا في العينة قد ماتوا، فأوجد احتمال أن يموت رجل يتراوح عمره بين ٥٠ و٦٠ سنة.

س٤٥: أُلقي حجر نرد 750 مرة .كم مرة تتوقَّع أن يظهر عدد زوجي أكبر من ١؟

س٤٦: حجر نرد منتظم أُلقي مرتين. ما احتمال الحصول على رقمين مجموعهما عدد زوجي أصغر من ٤؟

س٤٧: خلال رمي نرد غير منتظم، احتمال ظهور الأعداد ١ أو ٢ أو ٣ أو ٤ أو ٥ متساوٍ. واحتمال ظهور العدد ٦ يساوي ثلاثة أمثال احتمال ظهور أي عدد آخر. ما احتمال ظهور العدد ٥؟

س٤٨: مصنع مشروبات غازية يُنتج 1400 وحدة يوميا يوميًّا. اختبر المصنع عيِّنة من 400 وجدة ،ووجد ٦ منها فاسدة. بحساب الاحتمال التجريبي لوجود وحدة فاسدة، احسب عدد الوحدات الفاسدة المتوقَّع وجودها في اليوم.

س٤٩: في الاحتمال، ما تعريف التجربة؟

س٥٠: أُديرت اللعبة الدوَّارة المنتظمة الموضَّحة ٢٤٨ مرة. ما عدد المرات المتوقَّع لاستقرار السهم على الجزء الذي به الحرف و ؟

س٥١: تحتوي حقيبة على كرات حمراء وزرقاء. طُلب من عدة طلاب أن يسحبوا كرة عشوائيًّا ويسجلوا لونها، ثم يعيدوها إلى الحقيبة مرة أخرى. طُلب من كل طالب أن يكرر ذلك ١٢ مرة. الجدول الآتي يبين نتائج هذه التجربة. احسب التكرار النسبي لسحب الكرة الحمراء.

س٥٢: احتمال أن تظهر الصورة على عملة في تجربة 4/7 .إذا ظهرت الكتابة على العملة ٣٠ مرة، فكم مرة أُلقيت العملة في التجربة؟

س٥٣: إذا فاز شخصٌ بجائزة في برنامج ألعاب، فإنه يُدير قرصًا ليُحدِّد المبلغ الذي يفوز به. يختبر صانعو البرنامج القرص ٣٠٠ مرة، ويُسجِّلون المبلغ المالي الذي يقف عنده المؤشر في الجدول.

س٥٤: أُلقي حجر نرد ١٣٦ مرة. احسب عدد المرات المتوقَّعة للحصول على عدد أكبر من ٣.

س٥٥: إذا أٌلقيت عملة معدِنية مرة واحدة، فما احتمال ظهور صورة؟

س٥٦: أُلقي حجر نرد مرتين متتاليتين. أيٌّ من التالي يُمثِّل حدث ظهور عددين الفرق بينهما يساوي ٢؟

س٥٧: أُجريت دراسة على 92 شخصا فوُجِد أن ٥٥ منهم يُشجِّعون الفريق ا ،٣٠ منهم يُشجِّعون الفريق ب ،٧ لا يُشجِّعون أيًّا من الفريقين. ما احتمال أن يكون أحد الأشخاص يُشجِّع الفريق ا؟

اوجد

س٥٩: ما احتمال ظهور وجه الصورة عند إلقاء عملة معدنية منتظمة؟

س٦٠: تدحرج حجر نرد ١٢٧ مرة. سُجِّلت النتائج في الجدول الآتي. ما الاحتمال التجريبي لظهور أعداد أكبر من ٤؟

س٦١: احتمال وجود طالب يرتدي نظارة في فصل يساوي ٠٫١. إذا كان عدد الطلاب في الفصل ٢٠ طالبًا، فما عدد الطلاب الذين يرتدون نظارات؟

س٦٢: ما احتمال ظهور الكتابة عند إلقاء عملة معدنية منتظمة؟

س٦٣: تجلس بنتان وولدان عشوائيًّا في صف مكون من أربعة كراسي. ما احتمال أن تجلس البنتان إحداهما بجوار الأخرى؟

س٦٤: صندوق به 97 برتقالة ؛ من بينها 16 برتقالة فاسدة .إذا سُحبت برتقالة عشوائيًّا، فما احتمال أن تكون فاسدة؟

س٦٥: يوضِّح الجدول الآتي نتائج استطلاع رأي أُجري لمعرفة وجبة الإفطار المفضَّلة لدى 20 طالبا

س٦٦: أُلقي حجرا نرد منتظمان. أيٌّ من التالي يُمثِّل حدث ظهور عددين مجموعهما ٧؟

س٦٧: تحتوي حقيبة على ٤ كرات حمراء، و٣ كرات زرقاء. سُحبت كرة عشوائيًّا وسُجِّل لونها، ثم أُعيدت إلى الحقيبة ورُجَّت الحقيبة. بعد ذلك، سُحِبت كرة أخرى عشوائيًّا وسُجِّل لونها، ثم أُعيدت إلى الحقيبة. يوضِّح الشكل بالأسفل مخطط الشجرة البيانية ذات الصلة بهذه المسألة. هل «الحصول على كرة زرقاء في عملية السحب الأولى» و«الحصول على كرة حمراء في عملية السحب الثانية» حدثان مستقلان؟